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「永辉国际网投安全吗」黄蓉说:靖哥哥,这道数学题我会哟~

2020-01-11 13:47:05  来源:金沙网上娱乐平台 

「永辉国际网投安全吗」黄蓉说:靖哥哥,这道数学题我会哟~

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江湖

再见

2018年10月30日,武侠小说大家,金庸先生逝世。

金庸(1924年3月10日-2018年10月30日),原名查良镛,生于浙江省海宁市,1948年移居香港 。当代武侠小说作家、新闻学家、企业家、政治评论家、社会活动家,“香港四大才子”之一 。

作为90后,相信许多人也跟小天一样,都看过金庸先生的小说翻拍成的电视剧,比如《飞狐外传》、《神雕侠侣》、《倚天屠龙记》、《天龙八部》、《鹿鼎记》等。

那时候不像现在,没有pad,没有智能手机,每天最开心的事情莫过于写完作业后,能在看会电视。虽然这些作品已经过去了多年,但我们也从未忘记过。

作为一名十八线的科普网红,今天我们来掰掰金庸先生的小说中的数学文化。

在《射雕英雄传》之中就有这么一段情节:

黄蓉坐了片刻,精神稍复,见地下那些竹片都是长约四寸,阔约二分,知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行,暗点算子数目,知她正在计算五万五千二百二十五的平方根,这时“商”位上已记算到二百三十,但见那老妇拨弄算子,正待算那第三位数字。黄蓉脱口道:“五!二百三十五!”

那老妇吃了一惊,抬起头来,一双眸子精光闪闪,向黄蓉怒目而视,随即又低头拨弄算子。这一抬头,郭、黄二人见她容色清丽,不过四十左右年纪,想是思虑过度,是以鬓边早见华发。那女子搬弄了一会,果然算出是“五”,抬头又向黄蓉望了一眼,脸上惊讶的神色迅即消去,又见怒容,似乎是说:“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中,何足为奇?别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上,又计下一道算题。

这段故事当中,郭靖与黄蓉被铁掌派追杀,郭、黄二人无意中闯到瑛姑的小屋中,正巧撞见瑛姑正在算这样一道开平方的问题。

那么小说当中,

宋朝人用来计算平方根的方法是什么呢?我们今天就来介绍一下。

增乘开方法

小说中所提到的这种计算平方根的方法叫做增乘开方法,是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的,其方法与意大利数学家鲁裴尼(p.ruffini)和英国数学家霍纳(w.g.horner)所提出来的高次方程数值解法相同,但比他们早了750年。

那么增乘开方法是如何来计算一个数的平方根的呢?

举个例子

我们就以小说中瑛姑所计算的求55,225的平方根这个问题为例(为了便于理解我们就直接用阿拉伯数字来表示,就不用算筹啦。

首先我们把55,225放入实这一行。

1.由于55,225是一个五位数,因此我们估算商应当是一个三位数,并且由于万位上的数是5,所以估计商的百位数是2(200的平方是40,000,而300的平方是90,000,所以商的百位数一定是2)。

2.令借为1,法的值则为借乘商(1×2)。

3.更新实,使之为原实减去商乘法(5-2×2=1),则新实为1。

4.更新法为商乘借加到旧法上(2+2×1=4)。

5.将法后移一位,借后移两位。

然后我们再次重复1- 5的循环;

1.估算商的十位为3(3×4,000=12,000<15,225)。

2.更新法,为原法加十位商乘借(4,000+3×100=4,300)。

3.更新实,使之为原实减去商乘法(15,225-4,300×3=2,325),则新实为2325。

4.更新法为商乘借加到旧法上(43+3×1=46)。

5.将法后移一位,借后移两位。

第二轮结束,第三轮开始,再一次重复这五个步骤。

1.估算商的个位为5。

2.更新法,为原法加个位商乘借(460+5×1=465)。

3.更新实,使之为原实减去商乘法(2325-465×5=0)。

到这一步我们惊喜的发现,实的值为0了,也就是说我们最后解出来了55,225的平方根为235。

我们可以再验证一下,计算235的平方。

发现235的平方果然是55,225,也就是说我们的计算结果是正确的。

增乘开方法的步骤

总结一下,增乘开方法其实一共五个步骤:

然后只要不断地循环上述步骤,直到实为0,此时的商就是我们所求的平方根的值啦。

案例二:如何用增乘开方法开更高次方?

案例一我们说到,郭靖黄蓉二人误打误撞来到了瑛姑的小屋,看到她正在计算一道开平方的问题,我们继续来看小说后面的案例二:

这次是求四34012240的立方根,她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行,算到一个“三”,黄蓉轻轻道:“三百二十四。”那女子“哼”了一声,哪里肯信?布算良久,约一盏茶时分,方始算出,果然是三百二十四。

接下来瑛姑又计算了一道开立方的问题,那么如何来开一个数的立方根呢?

其实之前我们所讲的增乘开方法,不只能用来开平方根,还能用来开立方以及更高次方的根。

小说中的bug

书中所写故事的时代背景是写到成吉思汗去世为止,成吉思汗死于公元1227年,而关于贾宪的增乘开方法的提出时间,所能找到的最早的记载是杨辉的《详解九章算法纂类》,该书写于1261年。

也就是说,瑛姑所用的开平方的方法,如果按照时间关系上来看,所用的应该是时间更早的《九章算术》中的开平方的方法;但如果根据书中所写的瑛姑把算筹摆成“商、实、法、借”四行的话,就应该用的是贾宪的增乘开方法了。

而瑛姑所用的开立方的方法,将算子摆为六行,又是《九章算术》的方法了,用增乘开方法的话只需要摆成五行就够了。

增乘开方法是贾宪在《九章算术》中开方的方法的基础上,对传统方法进行改进,并推广到了开更高次方的情况,因此,我们还是主要来介绍增乘开方法。

我们先来复习一下,之前所讲的增乘开方法的五个步骤:估算商;用商乘借加到法上;实减去商乘法;再用商乘借加到法上;法后移一位,借后移两位。

只要不断循环这五个步骤,直到实变为0,所得到的商就是我们的结果啦。

举个例子

接下来我们还是以小说中的这道题为例来计算,为了便于理解,我把每一步计算所变化的数框了起来~

先将被开方数放到实的位置上,并将1置于下法。

将下法的1每次向前移动两格,共移动了三次,说明商应当是一个三位数。

接下来正式开始计算啦

1.估算商的值为3(3的三次方为27,小于34)。

2.用商乘下法置于廉(3×1=3),再用商乘廉置于方(3×3=9)。

3.实减去商乘方(34-3×9=7)。

4.商乘下法加到廉(3×1+3=6),商乘廉加到方(9+3×6=27)。

再用商乘下法加到廉(3×1+6=9)。

5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。

然后我们就可以开始下一个循环啦。

1.估计商的十位为2。

2.商乘下法加到廉,商乘廉加到方。

3.实减去商乘方。

4.商乘下法加到廉,商乘廉加到方,商乘下法加到廉。

5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。

第二个循环结束,开始第三遍啦~

1.估计商的个位为4。

2.商乘下法加到廉,商乘廉加到方。

3.实减去商乘方。

我们惊喜的发现,实变成了0,也就是说,我们所求的34,012,224的立方根就是324!

开立方的步骤

我们总结一下,开立方其实也是五个步骤:

和开平方的步骤一样,接下来只要不断地循环以上步骤,直到实为0,此时的商便是所求的根啦~

推广到开任意次方的步骤

我们先把开平方和开立方的步骤放到一起来对比一下。

从这个表格中我们能够非常容易的找到规律,从而总结出用增乘开方法开任意正整数次方的方法。

假设我们要求一个数的n次方(n为正整数),那么我们共需要写出n+2行,前两行分别是商和实,其余的n行我们用n1、n2、···、nn来表示。

将被开方数放入实这一行,在nn上的最后一格放上一个1,将nn上的1向左移动,每次移动n-1格,在下一次移动便会超出实的时候停止,此时1移动的次数便是商的位数。

接下来,我们就可以开始进行五个步骤循环的计算啦~

1.估算商。

估计出一个商的第一位数的值,设它为a1,a1的n次方应当小于1上面的实的值,而a1+1的n次方是大于它的。

2.依次从下到上填入数字,nn中已经填入了1,接下来

nn-1=a1×1

nn-2=a1×nn-1

……

n1=a1×n2

3.更新实。新的实=原实-n1×a1

4.更新从n1到nn。

第1轮:

nn-1=a1×1+nn-1

nn-2=a1×nn-1+nn-2

……

n1=a1×n2

第2轮:

nn-1=a1×1+nn-1

nn-2=a1×nn-1+nn-2

……

n2=a1×n3

如此不断循环下去,一直重复到第n-2轮,只剩下一步,nn-2=a1×nn-1+nn-2为止。

5.将从n1到nn上的数依次向后移动1、2、3、...n个格。

接下来只要重复上述几个步骤,直至实变为0为止。

如果是无法开出整数的情况的话,实便永远除不尽,便可以不断地重复上述步骤,得到后面无穷无尽的小数啦。

【参考文献】

[1] 金庸. 射雕英雄传[m]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.

[2] 梅荣照. 贾宪的增乘开方法——高次方程数值解的关键一步[j]. 自然科学史研究, 1989, (01)::1-8.

[3] 李兆华. 增乘开方法与贾宪三角形[j]. 中等数学, 1986, (1): 44-45.

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